Webサーバ側のエラーコードをそのまま表示することも可能ですか？

はい、ドメインごとにWebサーバ側エラーページをそのまま表示するように設定できます。
ただし、特定エラーページのみWebサーバページに見えるように設定することはできず、すべてのエラーコードページがWebサーバ側エラーページで表示されるように一括適用されます。